Question

8．求经过点A（0，-1），与直线x+y-1=0相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的标准方程．

Answer 1

分析 根据圆心在直线y=-2x上，设出圆心坐标和半径，写出圆的标准方程，把点A的坐标代入圆的方程得到一个关系式，由点到直线的距离公式表示圆心到直线x+y=1的距离，让距离等于圆的半径列出另一个关系式，两者联立即可求出圆心坐标和半径，把圆心坐标和半径代入即可写出圆的标准方程．

解答 解：因为圆心在直线y=-2x上，设圆心坐标为（a，-2a）（1分）
设圆的方程为（x-a）²+（y+2a）²=r²（2分）
圆经过点A（0，-1）和直线x+y=1相切，
所以有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+（2a-1）^{2}={r}^{2}}\\{\frac{|a-2a-1|}{\sqrt{2}}=r}\end{array}\right.$（8分）
解得r=$\sqrt{2}$，a=1或r=$\frac{5\sqrt{2}}{9}$，a=$\frac{1}{9}$（12分）
所以圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=2或（x-$\frac{1}{9}$）²+（y+$\frac{2}{9}$）²=$\frac{50}{81}$．（14分）

点评 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆相切时满足的条件，会利用待定系数法求圆的标准方程，是一道中档题．