Question

20．已知函数f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上的值域．
（Ⅲ）描述如何由y=sinx的图象变换得到函数f（x）的图象．

Answer 1

分析 （I）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，利用三角函数周期公式即可得解．
（II）由已知利用x的取值范围，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质可得范围sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，即可得解函数f（x）值域．
（Ⅲ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

解答 解：（I）∵f（x）=sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x
=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
（II）∵x∈[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，可得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2∈[1，3]，即函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}，\frac{π}{3}$]上的值域为[1，3]．
（Ⅲ）把函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得函数y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象，
再把所得图象上的各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，即可得到函数y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象上的各点的纵坐标变为原来的2倍，即可得到函数y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象．
再把所得函数的图象向上平移2个单位，即可得到y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2的图象．

点评 本题考查三角函数的二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的周期性和值域，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．