Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：上述四个命题中所有正确的命题序号是

 

．
①c=0时，有f（-x）=-f（x）成立；
②b=0，c＞0时，函数y=f（x）只有一个零点；
③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④函数y=f（x），至多有两个不同零点．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：将c=0代入，判断f（-x）=-f（x）是否成立，可判断①；将b=0代入分析函数的单调性及值域，可判断②；根据函数的对称变换，求出函数关于（0，c）对称后的解析式，与原函数解析进行比较后，可判断③；举出反例b=-2，c=0时，函数有三个零点，可判断④

解答： 解：①当c=0时，f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-（x|x|+bx）=-f（x），故①正确；
②f（x）=x|x|在R上为增函数，值域也为R，当b=0，c＞0时，f（x）=x|x|+c在R上递增，值域也为R，有且只有一个零点，故②正确；
③由f（x）=x|x|+bx+c关于（0，c）对称的函数解析式为2c-f（-x）=2c-（-x|x|-bx+c）=x|x|+bx+c，故③正确；
④当b=-2，c=0时，f（x）=x|x|-2x有-2，0，2三个零点，故④错误；
故所有正确的命题序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，零点，对称性，熟练掌握函数的图象和性质是解答的关键．