Question

已知a，b，c是正常数，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），求证：

a2

x2

+

b2

y2

+

c2

z2

≥

(a+b+c)2

x+y+z

，并指出等号成立的条件．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：令

m

=（x，y，z），

n

=（

a

x

，

b

y

，

c

z

），由|

m

|²•|

n

|²≥|

n

•

m

|²，即可得证，再由向量共线的知识，即可得到取等号的条件．

解答： 证明：令

m

=（x，y，z），

n

=（

a

x

，

b

y

，

c

z

），
则

m

•

n

=x•

a

x

+y•

b

y

+z•

c

z

=a+b+c，
|

m

|²=x²+y²+z²，|

n

|²=

a2

x2

+

b2

y2

+

c2

z2

，
由|

m

|²•|

n

|²≥|

n

•

m

|²，
则有（x²+y²+z²）（

a2

x2

+

b2

y2

+

c2

z2

）≥（a+b+c）²，
即有

a2

x2

+

b2

y2

+

c2

z2

≥

(a+b+c)2

x2+y2+z2

．
当且仅当a：b：c=x²：y²：z²，不等式取等号．

点评：本题考查不等式的证明，考查运用向量法证明不等式，考查运算能力，属于中档题．