Question

已知定义在R上的奇函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m²+（k+2）m-

3

2

＜f（x）＜m²+2km+k+

5

2

对一切实数x及m恒成立，求实数k的取值范围；
（3）定义：若存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）对定义域中的任何实数x都恒成立，那么，我们把f（x）叫以T为周期的周期函数，它特别有性质：对定义域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函数g（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，切当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，函数在R上是奇函数，由于其在原点有定义故一定有f（0）=0，再结合f（-1）=-f（1），由此两方程即可求出a、b的值；
（2）本小题的不等式恒成立，故可由（1）解出的函数解析式求出函数的最值，将恒成立的不等式-m²+（k+2）m-

3

2

＜f（x）＜m²+2km+k+

5

2

对一切实数x及m恒成立成立，再由二次函数的性质研究此不等式组，解出参数K的取值范围；
（3）由题设条件函数是周期为2的奇函数，故可先研究其一个周期上的零点，再由周期性得出所有的零点，由于函数是奇函数易得f（0）=0，再由周期性的性质与奇函数的性质可得出

f(-1)=f(1) f(1)=-f(1)

由此解得f（-1）=f（1）=0，由此知一个周期上的零点，再由周期性得出结论

解答： 解：（1）∵定义在R上的奇函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

．
∴f（0）=0，
即-1+b=0，b=1
∵f（x）=

-2x+1

2•2x+a

，f（-x）=-f（x），
∴

-2-x+1

2•2-x+a

=-

-2x+1

2•2x+a

2x-1

2+a•2x

=

2x-1

2•2x+2

即a=2
故a=2，b=1
（2）f（x）=

1-2x

2•2x+2

，=

1

2

×（

1-2x

1+2x

）
值域为：（-

1

2

，

1

2

）
∵不等式-m²+（k+2）m-

3

2

＜f（x）＜m²+2km+k+

5

2

对一切实数x及m恒成立，
则需且只需

-m2+(k+2)m- 3 2 ≤- 1 2 m2+2km+k+ 5 2 ≥ 1 2

m∈R恒成立
即

m2-(k+2)m+1≥0 m2+2km+k+2≥0

对 m∈R恒成立
只需

△1=(k+2)2-4≤0 △2=(2k)2-4(k+2)≤0

解得-1≤k≤0，
（3）当x∈（-1，1）时g（x）=f（x）-x=-

1

2

+

1

2x+1

-x
显然 y=

1

2x+1

，y=-x均为减函数，故g（x）在（-1，1）上为减函数，
由于g（0）=0，故在（-1，1）内g（x）=0有唯一根x=0
由于g（x）周期为2，由此有x∈（2k-1，2k+1）内有唯 一根x=2k（k∈N）①
综合得x=2k（k∈N）为g（x）=0的根
又因为g（-1）=g（-1+2）=g（1）得-g（1）=g（1）
故g（1）=0，因此得g（2k+1）=0（k∈N）②
综合①②有g（x）=0的所有解为一切整数

点评：本题考查函数恒成立的问题，函数恒成立的问题由于其抽象，推理难度大，方法不易得出而使得解此类题比较困难，解此类题，理解题意，对题设中所给的恒成立的关系进行准确转化是解题的关键，对探究意识要求较高，此类题思维难度过大．，属于难题．