Question

若函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在区间[0，

π

2

]上的最大值为6，求常数m的值及此函数当x∈R时的最小值，并求相应的x的取值集合．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数的最值

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：先利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据x的范围求函数的最大值，然后让最大值等于6，求出m的值；当x∈R时，根据正弦函数求函数的最小值及取到最小值时的x的值．

解答： 解：f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m
=

3

sin2x+1+cos2x+m
=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
所以函数f（x）的最大值为3+m，
∴3+m=6，m=3，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+4，
当x∈R时，函数f（x）的最小值为2，
此时2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，
即x=-

π

3

+kπ（k∈Z）时取最小值．

点评：本题考查了三角函数的最值问题，解题的关键是把函数解析式化成标准形式，要注意x的取值范围．