Question

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|+3a
（Ⅰ）当a=0时，写出不等式f（x）≥6的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥a²对一切实数x恒成立时，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把a=0代入函数解析式，写出分段函数，求解不等式f（x）≥6得答案；
（Ⅱ）利用绝对值的不等式变形，得到|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-（2x-3）|=4，进一步得到不等式4+3a≥a²求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，f(x)=

-4x+2，x＜- 1 2 4，- 1 2 ≤x≤ 3 2 4x-2，x＞ 3 2

，
∴由f（x）≥6，解得x≤-1，x≥2，
∴不等式的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞）；
（Ⅱ）∵|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-（2x-3）|=4，
当且仅当2x+1=3-2x，即x=

1

2

取等号，
∴要使不等式f（x）≥a²恒成立，
则4+3a≥a²，解得：-1≤a≤4．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了绝对值不等式的解法，是中档题．