Question

已知递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，等差数列{b_n}的前n项和为{S_n}，s₄=20，b₄=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若T_n=

1

2

a1b1+

1

2

a2b2+…+

1

2

anbn，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）等差数列与等比数列的通项公式性质即可得出；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q．
由已知得2（a₃+2）=a₂+a₄　代入a₂+a₃+a₄=28可得a₃=8．
于是a₂+a₄=20．　
故

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，解得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

．
又数列{a_n}为递增数列，故

q=2 a1=2

，
∴an=2n．
设等差数列{b_n}首项为a₁，公比为d．
则有

b1+3d=8 4b1+ 4×3 2 d=20

得b₁=2，d=2，
∴b_n=2n．
（Ⅱ）∵Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
两式相减得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=

2×(1-2n)

1-2

-n×2n+1=(1-n)×2n+1-2，
∴Sn=(n-1)×2n+1+2．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．