Question

设f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ（m、n∈N），若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f（x）的展开式中含x²项的系数取最小值，并求出这个最小值．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,二项式定理

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式中含x的一次项系数和，列出方程求出m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出含x²项的系数，通过等量代换转化成二次函数的最值，求出二次函数的最值．

解答： 解：由题意知C_m¹+C_n¹=11，即m+n=11，
又展开式中含x²项的系数

C

2 m

+

C

2 n

=

1

2

[m（m-1）+n（n-1）]=n²-11n+55=（n-

11

2

）²+

99

4

，
∴当n=5或n=6时，含x²项的系数最小，最小值为25．
此时n=5，m=6；或m=5，n=6．

点评：本题考查二项展开式的通项公式的应用、等量代换、二次函数的最值的求法，属于基础题．