Question

17．已知圆C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1和两点A（-t，0），B（t，0），（t＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则t的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1的圆心C（$\sqrt{3}$，1），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+t，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-t，b），由已知得t²=a²+b²=|OP|²，t的最大值即为|OP|的最大值．

解答 解：圆C：（x-$\sqrt{3}$）²+（y-1）²=1的圆心C（$\sqrt{3}$，1），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+t，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-t，b），
∵∠APB=90°，∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（a+t）（a-t）+b²=0，
∴t²=a²+b²=|OP|²，
∴t的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=2+1=3．
故选：C．

点评 本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．