Question

5．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放．从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=10；f（n）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）（答案用n表示）．

Answer 1

分析 观察图形，结合已知可得f（1）=1，f（2）=4，f（3）=10，由图中的规律可得f（n）-f（n-1）=（1+2+3+…+n）从而可得f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+[f（3）-f（2）]+…+[f（n）-f（n-1）]代入可求．

解答 解：由题意知，f（1）=1，f（2）=1+1+2，f（3）=1+1+2+1+2+3=10，…，
f（n）=1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…+n，
分析可得：f（n）-f（n-1）=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{n}{2}$；
f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+[f（n-2）-f（n-3）]+…+f（2）-f（1）+f（1）
=$\frac{1}{2}$（1²+2²+3²+…+n²）=$\frac{1}{12}$n（n+1）（2n+1）+$\frac{1}{4}$n（n+1）=$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）．
故答案为：10，$\frac{1}{6}$n（n+1）（n+2）．

点评 本题主要考查数列求和在实际中的应用，解决问题的关键是先由f（1）、f（2）、f（3）的值通过归纳推理得到f（n）的表达式．