Question

12．已知点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面A₁B₁C₁D₁上一点（包括边界），则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$的取值范围是$[\frac{1}{2}，1]$．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=-x（1-x）-y（1-y）+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$=f（x，y）．即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A₁（0，0，0），A（0，0，1），C（1，1，1），
设P（x，y，0），（x，y∈[0，1]）．
$\overrightarrow{PA}$=（-x，-y，1），$\overrightarrow{PC}$=（1-x，1-y，1），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PC}$=-x（1-x）-y（1-y）+1
=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{2}$=f（x，y）．
当x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{2}$时，f（x，y）取得最小值$\frac{1}{2}$．
当点P取（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），f（x，y）取得最大值1．
∴f（x，y）∈$[\frac{1}{2}，1]$．
故答案为：$[\frac{1}{2}，1]$．

点评 本题考查了数量积运算性质、空间向量坐标运算性质、数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．