Question

2．已知圆C：x²+y²-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，则m=-1；|MP|=3..

Answer 1

分析 由题意直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），从而得到m=-1．利用勾股定理求出|MP|．

解答 解：∵圆C：x²+y²-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，
∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），
∴1+2m+1=0．解得m=-1．
圆C：x²+y²-2x-4y+1=0，可化为（x-1）²+（y-2）²=4，圆心（1，2），半径r=2，
∵经过点M（m，m）作圆C的切线，切点为P，
∴|MP|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（2+1）^{2}-4}$=3．
故答案为：-1；3．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的对称性，考查勾股定理的运用，正确运用圆的对称性是关键．