Question

13．多面体ABCDEF（如图甲）的俯视图如图乙，己知面ADE为正三角形．
（1）求多面体ABCDEF的体积；
（2）求证：平面ACF⊥平面BDF．

Answer 1

分析 （1）分别取AB、CD的中点H，N，连结EH，EN，HN，多面体体积转化为棱柱AED-HFN的体积V₁与四棱锥F-HBCN的体积V₂之和，由此能求出多面体ABCDEF的体积．
（2）连结AC，BD，交于点O，取AD中点M，连结OM，EM，FO，推导出FO⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥面BDF，由此能证明面ACF⊥面BDF．

解答 解：（1）分别取AB、CD的中点H，N，
连结EH，EN，HN，
多面体体积转化为棱柱AED-HFN的体积V₁与四棱锥F-HBCN的体积V₂之和，
由三视图知AD=2，AM=DN=1，
又面ADE为正三角形，且垂直于底面ABCD，
∴F到底面距离为$\sqrt{3}$，
∴多面体ABCDEF的体积V=V₁+V₂=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
证明：（2）连结AC，BD，交于点O，
取AD中点M，连结OM，EM，FO，
由题意得四边形MOFE为平行四边形，
由EM⊥底面ABCD，得FO⊥底面ABCD，
∴FO⊥AC，
又BD⊥AC，∴AC⊥面BDF，
又AC?平面ACF，
∴面ACF⊥面BDF．

点评 本题考查多面体的体积的求法，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．