Question

19．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1）且x₁≠x₂时，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，给出下列命题：
①f（1）=0；
②f（x）在[-2，2]上有3个零点；
③点（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心；
④直线x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
则正确的是①③．

Answer 1

分析 根据已知，分析出函数的周期和单调性，进而画出满足条件的函数的草图，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：∵对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴对?x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（1）=f（-1）．
∵当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴在区间（0，1]上函数为减函数．
又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（1）=-f（-1）．
∴f（1）=0，即①正确；
满足条件的函数y=f（x）的草图如下所示：

由图可知：
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5个零点，即②错误；
所有（k，0）（k∈Z）点均为函数的对称中心，
故（3）（2014，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，③正确；
函数y=f（x）图象无对称轴，故④错误；
则正确命题个数是①③，
故答案为：①③．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的周期性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．