Question

若函数y=f（x）对定义域D的每一个x₁，都存在唯一的x₂∈D，使f（x₁）f（x₂）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”，下列命题正确的是

 

．（把你认为正确自倒函数命题的序号都填上）
（1）f（x）=sinx+

2

（x∈[-

π

2

，

π

2

]）是自倒函数；  
（2）自倒函数f（x）的值域可以是R；
（3）自倒函数f（x）的可以是奇函数；
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）•g（x）是自倒函数．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（1）中，由f（x₁）f（x₂）=1，知f（x₂）=

1

f(x1)

，可以求出x₂是满足条件的；
（2）中，令f（x₁）=0，可以判定f（x₁）f（x₂）=1不成立；
（3）中，当f（x）是奇函数时，不妨设f（x）=

1

x

，其中x∈（-∞，0）∪（0，+∞），验证满足条件；
（4）中，令f（x）=g（x）=

1

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），是定义域上的自倒函数，但f（x）g（x）=

1

x2

不是自倒函数，验证可得．

解答： 解：（1）中，∵f（x）=sinx+

2

（x∈[-

π

2

，

π

2

]），任取x₁∈[-

π

2

，

π

2

]，有sinx₁∈[-1，1]，∴f（x₁）=sinx₁+

2

，且f（x₁）∈[

2

-1，

2

+1]；
由f（x₁）•f（x₂）=1，得f（x₂）=

1

f(x1)

=

1

sinx1+ 2

，即sinx₂+

2

=

1

sinx1+ 2

，∴sinx₂=

1

sinx1+ 2

-

2

，且sinx₂∈[-1，1]，∴x₂=arcsin（

1

sinx1+ 2

-

2

）
其中x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴f（x）=sinx+

2

（x∈[-

π

2

，

π

2

]）是自倒函数，即（1）正确；
在（2）中，f（x）的值域是R，∴当f（x₁）=0时，f（x₁）f（x₂）=0，命题不成立，即f（x）不是自倒函数；
在（3）中，f（x）是奇函数时，不妨设f（x）=

1

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
则任取x₁∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（x₁）=

1

x1

∈（-∞，0）∪（0，+∞），由f（x₁）f（x₂）=

1

x1

•

1

x2

=1，得x₂=

1

x1

，其中x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），
∴f（x）是定义域上的自倒函数；
（4）中，当y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同时，函数y=f（x）g（x）不一定是自倒函数，例如f（x）=g（x）=

1

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
f（x）g（x）=

1

x2

不是自倒函数，因为由

1

x12

•

1

x22

=1得x₂=±

1

x1

，不唯一，故原命题不成立；
故答案为：①③．

点评：本题考查新定义“自倒函数”的理解与应用，着重考查推理分析与综合运算能力，属于难题．