Question

我们用a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n，i，j，n∈N^*）表示矩阵的第i行第j列元素，已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且a₁₁=1，a₁₂=a₂₁=2，a₂₂=4．
（1）求a₅₄．
（2）求a_ij关于i，j的关系式；
（3）设行列式

.

a23 a24 a25 a33 a34 a35 a43 a44 a45

.

=D，求证：对任意1≤i，j≤n-2，i，j，n∈N^*时，都有

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aij ai(j+1) ai(j+2) a(i+1)j a(i+1)(j+1) a(i+1)(j+2) a(i+2)j a(i+2)(j+1) a(i+2)(j+2)

.

=D．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,矩阵和变换

分析：由题意可得，矩阵中第一行的公差为1，第二行的公差为2，从而第三行的公差为3，即有第i行的公差为i，
则有第一列的公差为1，第二列的公差为2，从而第j列的公差为j，再由等差数列的通项公式，即可得到
a_ij=a_i1+（j-1）i=a₁₁+（i-1）+（j-1）i=1+i-1+ij-i=ij，即可得到（1）、（2），再由行列式的性质和计算即可得到（3）的证明．

解答： 解：由于该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且a₁₁=1，a₁₂=a₂₁=2，a₂₂=4，
则矩阵中第一行的公差为1，第二行的公差为2，从而第三行的公差为3，即有第i行的公差为i，
则有第一列的公差为1，第二列的公差为2，从而第j列的公差为j，
则由等差数列的通项公式，即可得到，a_ij=a_i1+（j-1）i=a₁₁+（i-1）+（j-1）i=1+i-1+ij-i=ij，
则（1）a₅₄=5×4=20，
（2）a_ij=ij，
（3）证明：由于行列式

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a23 a24 a25 a33 a34 a35 a43 a44 a45

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=

.

6 8 10 9 12 15 12 16 20

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=24

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3 4 5 3 4 5 3 4 5

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=0，
即有D=0，
则

.

aij ai(j+1) ai(j+2) a(i+1)j a(i+1)(j+1) a(i+1)(j+2) a(i+2)j a(i+2)(j+1) a(i+2)(j+2)

.

=

.

ij i(j+1) i(j+2) (i+1)j (i+1)(j+1) (i+1)(j+2) (i+2)j (i+2)(j+1) (i+2)(j+2)

.

=

.

ij i(j+1) i(j+2) j j+1 j+2 2j 2(j+1) 2(j+2)

.

=0=D，
故对任意1≤i，j≤n-2，i，j，n∈N^*时，都有

.

aij ai(j+1) ai(j+2) a(i+1)j a(i+1)(j+1) a(i+1)(j+2) a(i+2)j a(i+2)(j+1) a(i+2)(j+2)

.

=D．

点评：本题考查等差数列的通项公式和运用，考查三阶行列式的计算，属于中档题．