讨论函数f(x)=x+4x在的单调性．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

讨论函数f（x）=x+

在（-∞，-2）的单调性．

考点：函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：任取x₁，x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据增函数的定义，只需说明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答： 证明：任取x₁，x₂∈（-∞，-2），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

）-（x₂+

）=（x₁-x₂）+

4(x2-x1)

x1x2

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
因为x₁＜x₂＜-2，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）=x+

在（-∞，-2）上为增函数．

点评：本题考查函数单调性的证明，属基础题，单调性的证明方法主要有：定义法；导数法，要熟练掌握．

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若函数y=f（x）对定义域D的每一个x₁，都存在唯一的x₂∈D，使f（x₁）f（x₂）=1成立，则称f（x）为“自倒函数”，下列命题正确的是

．（把你认为正确自倒函数命题的序号都填上）
（1）f（x）=sinx+

（x∈[-

，

]）是自倒函数；
（2）自倒函数f（x）的值域可以是R；
（3）自倒函数f（x）的可以是奇函数；
（4）若y=f（x），y=g（x）都是自倒函数，且定义域相同，则y=f（x）•g（x）是自倒函数．

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（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ：

=1相交于两点A、B，连接
AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

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（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间，并比较g（x）与g（1）的大小关系；
（Ⅱ）当a=

时，函数t（x）=ln（1+x²）-h（x）+x+4-k（k∈R），试判断函数t（x）的零点个数；
（Ⅲ）如果函数f（x），f₁（x），f₂（x）在公共定义域D上，满足f₁（x）＜f（x）＜f₂（x），那么就称f（x）为f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，已知函数f₁（x）=（a-

）x²+2ax+（1-a²）lnx，f₂（x）=

x²+2ax，若在区间（1，+∞）上，函数f（x）=g（x）+h（x）是f₁（x），f₂（x）的“伴随函数”，求a的取值范围．

设非空集合A，若对A中任意两个元素a，b，通过某个法则“•”，使A中有唯一确定的元素c与之对应，则称法则“•”为集合A上的一个代数运算．若A上的代数运算“•”还满足：（1）对?a，b，c∈A，都有（a•b）•c=a•（b•c）；（2）对?a∈A，?e，b∈A，使得e•a=a•e=a，a•b=b•a=e．称A关于法则“•”构成一个群．给出下列命题：
①实数的除法是实数集上的一个代数运算；
②自然数集关于自然数的加法不能构成一个群；
③非零有理数集关于有理数的乘法构成一个群；
④正整数集关于法则a°b=a^b构成一个群．
其中正确命题的序号是

．（填上所有正确命题的序号）．

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2，PO=

，PB⊥PD．
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=λ，问λ为何值时，PC⊥平面BMD．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin²B=sinAsinC．
（Ⅰ）求ac-b²的值；
（Ⅱ）若b=

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