Question

已知矩阵A=

1 1 2 3

，B=

1 2 2 3

．
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A^-1；
（Ⅱ）求直线x+y-1=0在矩阵A^-1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．

Answer 1

考点：逆变换与逆矩阵

专题：矩阵和变换

分析：（I）根据所给的矩阵求这个矩阵的逆矩阵，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩阵的公式，求出结果．
（Ⅱ）结合（I）的结论先求出A^-1B，设直线x+y-1=0上任意一点P（x，y）在矩阵A^-1B对应的线性变换作用下得到P′（x′，y′），可得

x′=x+3y y′=y

，进而可得直线x+y-1=0在矩阵A^-1B对应的线性变换作用下所得曲线的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设A^-1=

a b c d

，
∵A•A^-1=

1 1 2 3

•

a b c d

=

1 0 0 1

，
解得：a=3，b=-1，c=-2，d=1，-------------（1分）
且A^-1=

3 -1 -2 1

---------------------------------------------（3分）
（Ⅱ）∵A^-1B=

3 -1 -2 1

•

1 2 2 3

=

1 3 0 1

---------------------（4分）
设直线x+y-1=0上任意一点P（x，y）在矩阵A^-1B对应的线性变换作用下得到P′（x′，y′），
则

1 3 0 1

•

x y

=

x′ y′

-----------------------------------（5分）
即：

x′=x+3y y′=y

，从而

x=x′-3y′ y=y′

------------------------（6分）
代入x+y-1=0得x′-2y′-1=0  
即x-2y-1=0为所求的曲线方程．7分）

点评：本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识，考查书写表达能力、运算求解能力．