Question

已知圆C经过P（4，-2），Q（-1，3）两点，圆心C在第一象限且到直线3x+4y+4=0的距离为

14

5

．
（I）求直线PQ与圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l∥PQ，使得直线l与圆C交于点A、B，且以AB为直径的圆经过坐标原点，若存在求出直线l的方程，不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：综合题,直线与圆

分析：（I）利用点斜式求直线PQ，求出圆心与半径，可得圆C的方程；
（Ⅱ）假设直线l存在，设方程为x+y+m=0，代入圆方程，利用以AB为直径的圆经过坐标原点O，可得AO⊥BO，即x₁x₂+y₁y₂=0，从而可得直线l的方程．

解答： 解：（I）PQ直线方程：y+2=

3+2

-1-5

(x-4)即x+y-2=0
∵C在PQ的中垂线上，PQ的中垂线方程为y-

1

2

=x-

3

2

即y=x-1
设C（a，a-1），由条件d=

|3a+4(a-1)+4|

5

=

14

5

得|a|=2
∵圆心C在第一象限，∴a=2，即C（2，1）
所以圆C的方程为：（x-2）²+（y-1）²=13
（Ⅱ）假设存在l与圆C交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且以AB为直径的圆经过坐标原点，
其方程设为x+y+m=0代人圆C方程得2x²+2（m-1）x+m²+2m-8=0△=4（m-1）²-8（m²+2m-8）＞0得-3-

26

＜m＜-3+

26

（*）x₁+x₂=1-m，x1x2=

m2+2m-8

2

；
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0可得2x1x2+m(x1+x2)+m2=0
可得m²+3m-8=0解得m=

-3± 41

2

满足（*）
∴直线l的方程为：2x+2y-3+

41

=0和2x+2y-3-

41

=0．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生对直线与圆相交的问题的转化方法，考查学生的方程思想和运算化简能力，属于中档题．