Question

已知三棱柱ABC-A′B′C′，侧棱与底面垂直，且所有的棱长均为2，E为AA′的中点，F为AB的中点．
（Ⅰ）求多面体ABCB′C′E的体积；
（Ⅱ）求异面直线C'E与CF所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）分别求出直三棱柱ABC-A′B′C′的体积V．三棱锥E-A′B′C′的体积V₁．即可得出多面体ABCB′C′E的体积=V-V₁；
（II）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．可得四边形CFDC′是矩形．C′D∥CF．因此∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．

解答： 解：（I）直三棱柱ABC-A′B′C′的体积V=

3

4

×22×2=2

3

．
三棱锥E-A′B′C′的体积V₁=

1

3

S△A′B′C′•A′E=

1

3

×

3

4

×22×1=

3

3

．
∴多面体ABCB′C′E的体积=V-V₁=

5 3

3

；
（II）如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D，DF，DE．
可得四边形CFDC′是矩形．
∴C′D∥CF．
∴∠EC′D即是异面直线C′E与CF所成角．
在Rt△C′DE中，C′D=

3

，C′E=

5

．
∴cos∠EC′D=

C′D

C′E

=

3

5

=

15

5

．
∴异面直线C′E与CF所成角的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查了直三棱柱的体积及其性质、异面直线所成的角、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．