Question

已知函数f（x）=

x2+ax+a

x

，x∈[1，+∞）且a＜1
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=x•f（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+

3

2

＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=

x2+ax+a

x

=x+2

a2 x

，能推导出f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（2）由已知得

3m≥1 5-2m≥1 3m＞5-2m

，由此能求出1＜m≤2．
（3）设g（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+

3

2

＞0，得题目等价于a＞-（x+1）-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上恒成立．由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）在[1，+∞）上为增函数．
证明如下：
∵f（x）=

x2+ax+a

x

=x+a+

a

x

=x+2

a2 x

，
x∈[1，+∞）且a＜1，
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数．
（2）由（1）知f（x）在[1，+∞）上为增函数，
m满足f（3m）＞f（5-2m），
∴

3m≥1 5-2m≥1 3m＞5-2m

，
解得1＜m≤2．
（3）设g（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+

3

2

＞0，
得：x2+a(x+1)+2x+

3

2

＞0，
即a（x+1）＞-（x+1）²-

1

2

，①
∵x∈[2，5]，∴x+1∈[3，6]，
∴①式可转化为a＞-（x+1）-

1

2(x+1)

，
∴题目等价于a＞-（x+1）-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上恒成立．
即a大于函数y=-（x+1）-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最大值．
即求y=（x+1）+

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最小值．
令t=x+1，t∈[3，6]，
则y=t+

1

2t

，由（1）得y=t+

1

2t

在t∈[3，6]上为增函数，
所以最小值为

19

6

．所以-

19

6

＜a＜1．

点评：本题考查函数的单调性及证明，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．