Question

19．已知椭圆的焦点是F₁（-1，0）和F₂（1，0），离心率$e=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）在焦点三角形中利用余弦定理求得|PF₁||PF₂|，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
且c=1，又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=2，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：$4{c}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos$∠F₁PF₂，
即$4=（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|）^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|-$2|PF₁||PF₂|×cos60°，
∴4=16-3|PF₁||PF₂|，即|PF₁||PF₂|=4．
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|sin60°=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义及余弦定理在求解焦点三角形中的应用，是中档题．