Question

7．各项都是正数的等比数列{a_n}的公比q≠1，a₃，a₅，a₆成等差数列，则$\frac{{{a_3}+{a_4}}}{{{a_4}+{a_5}}}$=（　　）

• A． $\frac{{-1+\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$
• D． $2+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由等差数列中项的性质，结合等比数列通项公式，解得公比，再由通项公式即可得到所求值．

解答 解：各项都是正数的等比数列{a_n}的公比q≠1，a₃，a₅，a₆成等差数列，
可得2a₅=a₃+a₆，
即2a₁q⁴=a₁q²+a₁q⁵，
即有q³-2q²+1=0，
（q-1）（q²-q-1）=0，
解得q=1（舍去）或q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或q=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
则$\frac{{{a_3}+{a_4}}}{{{a_4}+{a_5}}}$=$\frac{{a}_{3}+{a}_{4}}{q（{a}_{3}+{a}_{4}）}$=$\frac{1}{q}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查等比数列通项公式的运用，等差数列中项的性质，考查运算能力，属于中档题．