Question

9．已知向量$\overrightarrow m=（sin2x，cos2x），\overrightarrow n=（cos\frac{π}{4}，sin\frac{π}{4}）$，函数f（x）=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在[-π，π]上零点．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的零点求得函数g（x）在[-π，π]上零点．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{2}\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{2}（sin2xcos\frac{π}{4}+cos2xsin\frac{π}{4}）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{24}$个单位，
得到图象的解析式为y=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{24}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
在将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
由x+$\frac{π}{6}$=kπ，得x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z．
故当x∈[-π，π]时，函数g（x）的零点为-$\frac{π}{6}$和$\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，属于中档题．