Question

11．如图，设铁路AB长为50，BC⊥AB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．
（1）将总运费y表示为x的函数；
（2）如何选点M才使总运费最小？

Answer 1

分析 （1）由已知中铁路AB长为50，BC⊥AB，且BC=10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费；
（2）由（1）中所得的总运费y表示为x的函数，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，及函数的最小值点，得到答案．

解答 解：（1）依题中，铁路AB长为50，BC⊥AB，且BC=10，
将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，
且单位距离的铁路运费为2，公路运费为4
∴铁路AM上的运费为2（50-x），公路MC上的运费为4 $\sqrt{100{+x}^{2}}$，
则由A到C的总运费为y=2（50-x）+4 $\sqrt{100{+x}^{2}}$（0≤x≤50）…（6分）
（2）y′=-2+$\frac{4x}{\sqrt{100{+x}^{2}}}$（0≤x≤50），
令y′=0，
解得x=$\frac{10}{\sqrt{3}}$，或x=-$\frac{10}{\sqrt{3}}$（舍）…（9分）
当0≤x≤$\frac{10}{\sqrt{3}}$时，y′≤0；当$\frac{10}{\sqrt{3}}$≤x≤50时，y′≥0
故当x=$\frac{10}{\sqrt{3}}$时，y取得最小值．…（12分）
即当在距离点B为$\frac{10}{\sqrt{3}}$时的点M处修筑公路至C时总运费最省．…（13）

点评 本题考查的知识点是导数在最大值最小值问题中的应用，函数最值的应用，其中根据已知条件求出函数的解析式，并确定函数的单调性是解答本题的关键．