Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P是底面A₁B₁C₁D₁的中心，M是CD的中点，则P到平面AMD₁的距离为

 

．

Answer 1

考点：用空间向量求直线间的夹角、距离,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出P到平面AMD₁的距离．

解答： 解：以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
P是底面A₁B₁C₁D₁的中心，M是CD的中点，
∴A（2，0，0），M（0，1，0），D₁（0，0，2），P（1，1，2），
∴

AM

=（-2，1，0），

AD1

=(-2，0，2)，

AP

=（-1，1，2），
设平面AMD₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AM =-2x+y=0 n • AD1 =-2x+2z=0

，
取x=1，得

n

=(1，2，1)，
∴P到平面AMD₁的距离d=

| n • AP |

| n |

=

|-1+2+2|

6

=

6

2

．
故答案为：

6

2

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．