Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

与向量

m

的夹角为

3π

4

，

m

•

n

=-1，且向量

n

与向量

q

=（1，0）共线．
（Ⅰ）求向量

n

的坐标
（Ⅱ）若向量

p

=（2cos²

C

2

，cosA），其中A、C为△ABC的内角，且∠B=

π

3

，求|

n

+

p

|的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的模

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的数量积运算、向量共线定理即可得出．
（2）利用向量的坐标运算、数量积的运算性质、倍角公式、和差化积、余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）设

n

=（x，y），
∵

m

•

n

=-1，且向量

n

与向量

q

=（1，0）共线，向量

m

=（1，1），
∴x+y=-1，y=0．
解得x=-1，y=0．
∴

n

=（-1，0）．
（2）

n

+

p

=（2cos2

C

2

-1，cosA）=（cosC，cosA），
∴|

n

+

p

|=

cos2C+cos2A

=

1+cos2C 2 + 1+cos2A 2

=

cos(A+C)cos(A-C)+1

=

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

∵0＜C＜

2π

3

，
∴-

2π

3

＜

2π

3

-2C＜

2π

3

，
∴-

1

2

＜cos(

2π

3

-2C)≤1，
∴

1

2

≤1-

1

2

sin(

2π

3

-2C)＜

5

4

，
∴

2

2

≤

1- 1 2 cos( 2π 3 -2C)

＜

5

2

．
∴

n

+

p

|的取值范围是[

2

2

，

5

2

)．

点评：本题考查了向量的数量积运算、向量共线定理、向量的坐标运算、数量积的运算性质、倍角公式、和差化积、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．