Question

已知f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx+d（a，b，c，d为常数且a≠0），g（x）=f′（x）（f′（x）为f（x）的导数）．
（Ⅰ）若g（x）满足：①g′（0）＞0；②对于任意实数x，都有g（x）≥0．求μ=

g(1)

g′(0)

的最小值；
（Ⅱ）若a=1且对于任意实数x∈（-∞，0）有f′（x）＞0；对于任意实数x∈（0，4）有f′（x）＜0．求b的取值范围；
（Ⅲ）若a=1，b=-2e，讨论关于x的方程lnx=x•g（x）的根的个数．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数g′（x）的表达式，根据二次函数的性质结合基本不等式即可求μ=

g(1)

g′(0)

的最小值；
（Ⅱ）若a=1，根据条件确定函数f（x）的单调性和极值，利用导数与函数关系，即可求b的取值范围；
（Ⅲ）若a=1，b=-2e，将方程lnx=x•g（x）转化为

lnx

x

=x²-2ex+c，利用导数研究方程根的问题．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

3

ax³+

1

2

bx²+cx+d，
∴f′（x）=ax²+bx+c，
则g（x）=f′（x）=ax²+bx+c，
g′（x）=2ax+b，
∵①g′（0）＞0；∴b＞0，
∵②对于任意实数x，都有g（x）≥0．则a＞0且判别式△=b²-4ac≤0，
从而c＞0，ac≥

b2

4

，
则μ=

g(1)

g′(0)

=

a+b+c

b

=

a+c

b

+1≥

2 ac

b

+1≥2，
故=

g(1)

g′(0)

的最小值为2；
（Ⅱ）若a=1，f′（x）=x²+bx+c，对于任意实数x∈（-∞，0）有f′（x）＞0；
对于任意实数x∈（0，4）有f′（x）＜0．
则x=0是函数f（x）的极值点，即f′（0）=c=0，
则f′（x）=x²+bx=x（x+b），
若-b＜0，即b＞0，函数f（x）在x∈（-b，0）为减函数，与x∈（0，4）有f′（x）＜0矛盾．
若-b＞0，即b＜0，则f（x）在（-∞，0）单调递增，在（0，-b）内单调递增，在（-b，+∞）内单调递增，
即-b≥4，即b≤-4，
则b的取值范围是b≤-4；
（Ⅲ）若a=1，b=-2e，则g（x）=f′（x）=x²-2ex+c，
关于x的方程lnx=x•g（x）等价为

lnx

x

=x²-2ex+c，（x＞0），
设h（x）=

lnx

x

，则h′（x）=

1-lnx

x2

，
则当0＜x＜e时，h′（x）=

1-lnx

x2

＞0，函数单调递增，
当x＞e时，h′（x）=

1-lnx

x2

＜0，函数单调递减，
从而函数的最大值为h（e）=

1

e

，
g（x）的最小值为g（e）=c-e²，
①若c-e²＞

1

e

，即c＞e²+

1

e

，此时函数g（x）和h（x）图象无交点，即方程lnx=x•g（x）的根的个数为0个．
②若c-e²=

1

e

，即c=e²+

1

e

，此时函数g（x）和h（x）图象有唯一的交点，方程lnx=x•g（x）的根的个数为1个．③若c-e²＜

1

e

，即c＜e²+

1

e

，此时函数g（x）和h（x）图象有2个交点，方程lnx=x•g（x）的根的个数为2个．

点评：本题主要考查函数的单调性，极值，最值和导数之间的应用，以及二次函数的性质，综合考查了导数的应用，运算量较大，综合性较强．