Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=

3

2

，连接CE并延长交AD于F．
（1）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．                 
（2）在线段BP上是否存在一点H满足

BH

=λ

BP

，使得DH与平面DPC所成角的正弦值为

1

74

？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间角

分析：（1）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，求出平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
（2）求出

DH

的坐标，利用DH与平面DPC所成角的正弦值为

1

74

，建立方程，即可求出λ的值．

解答： 解：（1）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（

3

2

，

3

2

，0），D（0，

3

，0），P（0，0，

3

2

）
∴

BC

=（

1

2

，

3

2

，0），

CP

=（-

3

2

，-

3

2

，

3

2

），

CD

=（-

3

2

，

3

2

，0）
设平面BCP的法向量

m

=（1，y，z），则

1 2 + 3 2 y=0 - 3 2 - 3 2 + 3 2 z=0

解得y=-

3

3

，z=

2

3

，可得

m

=（1，-

3

3

，

2

3

），
同理可得平面DCP的法向量

n

=（1，

3

，2），
∴cos＜

m

，

n

＞=

2

4

因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于

2

4

；
（2）设H（x′，0，z′），则∵

BH

=λ

BP

，
∴（x′-1，0，z′）=λ（-1，0，

3

2

），
∴x′=1-λ，z′=

3

2

λ，
∴

DH

=（1-λ，-

3

，

3

2

λ），
∵平面DCP的法向量

n

=（1，

3

，2），DH与平面DPC所成角的正弦值为

1

74

，
∴

|1-λ-3+3λ|

(1-λ)2+3+ 9λ2 4

=

1

74

，
∴

1171

4

λ2-590λ+292=0．
∴λ=

1180-4 1542

1171

．

点评：本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面与平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．