Question

E是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长CC₁所在直线上一点，C₁E=CC₁=BC=

1

2

AB=1．
（1）求异面直线D₁E与B₁C所成角的余弦值；
（2）求点A到直线B₁E的距离；
（3）求直线AC与平面D₁EB₁所成的角；
（4）求两平面B₁D₁E与ACB₁所形成的锐二面角的余弦值；
（5）求点A到平面D₁EB₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由AB₁∥D₁E，知∠AB₁C是异面直线D₁E与B₁C所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线D₁E与B₁C所成角的余弦值．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到直线B₁E的距离．
（3）求出平面D₁B₁E的法向量，利用向量法能求出直线AC与平面D₁EB₁所成的角．
（4）求出平面D₁B₁E的法向量和平面ACB₁的法向量利用向量法能求出两平面B₁D₁E与ACB₁所形成的锐二面角的余弦值．
（5）由

D1A

=（1，0，-1），平面D₁B₁E的法向量

n

=（2，-1，2），利用向量法能求出点A到平面D₁EB₁的距离．

解答： 解：（1）∵E是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长CC₁所在直线上一点，
C₁E=CC₁=BC=

1

2

AB=1，
∴AB₁∥D₁E，
∴∠AB₁C是异面直线D₁E与B₁C所成角（或所成角的补角），
∵AB₁=

4+1

=

5

，B1C=

1+1

=

2

，
AC=

4+1

=

5

，
∴cos∠AB₁C=

5+2-5

2× 5× 2

=

10

10

．
∴异面直线D₁E与B₁C所成角的余弦值为

10

10

．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意知A（1，0，0），
B₁（1，2，1），E（0，2，2），
∴

EA

=（1，-2，-2），

EB1

=（1，0，-1），
∴A到直线B₁E的距离：
d=|

EA

|•

1-[cos＜ EA ， EB1 ＞]2

=3×

1-( 1+2 3× 2 )2

=

3 2

2

．
（3）∵D₁（0，0，1），
E（0，2，2），C（0，2，0），
∴

D1B1

=（1，2，0），

D1E

=（0，2，1），

AC

=（-1，2，0），
设平面D₁B₁E的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • D1B1 =x+2y=0 n • D1E =2y+z=0

，取x=2，得

n

=（2，-1，2），
设直线AC与平面D₁EB₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

AC

，

n

＞|=|

-2-2

5 ×3

|=

4 5

15

．
∴直线AC与平面D₁EB₁所成的角为arcsin

4 5

15

．
（4）平面D₁B₁E的法向量

n

=（2，-1，2），
设平面ACB₁的法向量

m

=(a，b，c)，

AC

=(-1，2，0)，

AB1

=(0，2，1)，
则

m • AC =-a+2b=0 m • AB1 =2b+c=0

，取b=1，得

m

=（2，1，-2），
两平面B₁D₁E与ACB₁所形成的锐二面角为α，
则cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

4-1-4

3×3

|=

1

9

．
∴两平面B₁D₁E与ACB₁所形成的锐二面角的余弦值为

1

9

．
（5）∵

D1A

=（1，0，-1），平面D₁B₁E的法向量

n

=（2，-1，2），
∴点A到平面D₁EB₁的距离：
d′=

| D1A • n |

| n |

=

|2+0-2|

3

=0．

点评：本题考查异面直线所成的角的余弦值、点到直线的距离、直线与平面所成的角、二面角的余弦值、点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．