Question

2．已知点A，B，C在圆x²+y²=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为$（\frac{8}{3}\;，\;2）$，则$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|$的取值范围为（　　）

• A． [8，10]
• B． [9，11]
• C． [8，11]
• D． [9，12]

Answer 1

分析 由AB⊥BC可知AC为直径，故而$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$，设B（cosα，sinα），利用坐标计算|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$|²即可得出最值．

解答 解：∵AB⊥BC，∴AC是单位圆的直径，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$=（-$\frac{16}{3}$，-4），
设B（cosα，sinα），则$\overrightarrow{PB}$=（cosα-$\frac{8}{3}$，sinα-2），
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=（cosα-8，sinα-6），
∴|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$|²=（cosα-8）²+（sinα-6）²=101-16cosα-12sinα=101-20sin（α+φ），
∴当sin（α+φ）=1时，|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$|取得最小值$\sqrt{101-20}$=9，
当sin（α+φ）=-1时，|$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$|取得最大值$\sqrt{101+20}$=11．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．