Question

2．已知函数f（x）=（x²-x-5）e^x，g（x）=tx²+ex-4e²（t∈R）（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间与极值；
（2）是否存在t＜0，对任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）？若存在，求出t的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=（x²+x-6）e^x，由此利用导数的性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．
（2）对任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），等价于f（x₁）_min＞g（x₂）_max，由此能求出存在t＜-$\frac{1}{4}$，对任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-x-5）e^x，
∴f′（x）=（2x-1）e^x+（x²-x-5）e^x=（x²+x-6）e^x，
当f′（x）＞0时，x＞2或x＜-3，
当f′（x）＜0时，-3＜x＜2，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-3），（2，+∞），单调减区间为（-3，2），
∴f（x）的极大值为f（-3）=（9+3-5）e^-3=7e^-3，极小值为f（2）=（4-2-5）e²=-3e²．
（2）∵对任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂），
∴f（x₁）_min＞g（x₂）_max，
∵g（x）=tx²+ex-4e²（t＜0）对称轴x=-$\frac{e}{2t}$＞0，
△=e²+16te²，g（x₂）_max=g（-$\frac{e}{2t}$）=$\frac{-16t{e}^{2}-{e}^{2}}{4t}$=$\frac{-{e}^{2}（16t+1）}{4t}$，
由（1）知$f（{x}_{1}）_{min}=f（2）=-3{e}^{2}$，
∴-3e²＞$\frac{-{e}^{2}（16t+1）}{4t}$，
解得t＜-$\frac{1}{4}$，
∴存在t＜-$\frac{1}{4}$，对任意的x₁∈R，任意的x₂∈（0，+∞），都有f（x₁）＞g（x₂）．

点评 本题考查函数的单调区间与极值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查导数性质、二次函数、函数的单调区间、极值、最值等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．