Question

17．已知随机变量ξ的取值为不大于n的非负整数值，它的分布列为：

ξ	0	1	2	…	n
P	p0	p1	p2	…	pn

其中p_i（i=0，1，2，…，n）满足：p_i∈[0，1]，且p₀+p₁+p₂+…+p_n=1．
定义由ξ生成的函数f（x）=p₀+p₁x+p₂x²+…+p_nxⁿ，令g（x）=f′（x）．
（I）若由ξ生成的函数f（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$x³，求P（ξ=2）的值；
（II）求证：随机变量ξ的数学期望E（ξ）=g（1），ξ的方差D（ξ）=g′（1）+g（1）-（g（1））²；（D（ξ）=$\sum_{i=0}^{n}$（i-E（ξ））²•p_i）
（Ⅲ）现投掷一枚骰子两次，随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，此时由ξ生成的函数记为h（x），求h（2）的值．

Answer 1

分析 （ I）由ξ生成的函数得出P（ξ=2）的值；
（II）根据均值与方差的定义，结合题意，计算D（ξ）的值；
（ III）方法1，利用随机变量ξ的生成函数，计算h（2）的值．
方法2：计算ξ的概率分布，写出h（x）解析式，计算h（2）的值．

解答 解：（ I）由ξ生成的函数f（x）=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{4}$x³，
∴P（ξ=2）=p₂=$\frac{1}{2}$；   …（2分）
（ II）由于E（ξ）=0•p₀+1•p₁+2•p₂+…+n•p_n，
g（x）=f′（x）=p₁+2p₂x+…+np_nx^n-1，
所以E（ξ）=g（1）．     …（4分）
由ξ的方差定义可知
D（ξ）=$\sum_{i=0}^{n}$（i-E（ξ））²•p_i=$\sum_{i=0}^{n}$i²•p_i+$\sum_{i=0}^{n}$E²（ξ）•p_i-2E（ξ）$\sum_{i=0}^{n}$i•p_i
=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）•p_i+$\sum_{i=0}^{n}$i•p_i+$\sum_{i=0}^{n}$E²（ξ）•p_i-2E（ξ）$\sum_{i=0}^{n}$i•p_i
=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）•p_i+E（ξ）+E²（ξ）-2E²（ξ）
=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）•p_i+E（ξ）-E²（ξ）
=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）•p_i+g（1）-g²（1）
由于g（x）=p₁+2p₂x+…+np_nx^n-1，所以有
g′（x）=2p₂+3×2p₃•x+…+n（n-1）p_n•x^n-2，这样
g′（1）=2p₂+3×2p₃+…+n（n-1）p_n=$\sum_{i=2}^{n}$i（i-1）p_i，所以有
D（ξ）=g′（1）+g（1）-（g（1））²．           …（6分）
（ III）方法1．投掷一枚骰子一次，随机变量ξ的生成的函数为：
f（x）=$\frac{1}{6}$（x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶）．                  …（7分）
投掷骰子两次次对应的生成函数为：h（x）=${[\frac{1}{6}（x{+x}^{2}+…{+x}^{6}）]}^{2}$． …（8分）
所以h（2）=21²=441．         …（9分）
方法2：ξ的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．    …（7分）
则ξ的分布列为

ξ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

…（8分）
则h（x）=$\frac{1}{36}$x²+$\frac{2}{36}$x³+$\frac{3}{36}$x⁴+$\frac{4}{36}$x⁵+$\frac{5}{36}$x⁶+$\frac{6}{36}$x⁷+$\frac{5}{36}$x⁸+$\frac{4}{36}$x⁹+$\frac{3}{36}$x¹⁰+$\frac{2}{36}$x¹¹+$\frac{1}{36}$x¹²．
则h（2）=$\frac{4}{36}$×（1+4+12+32+80+192+320+512+768+1024+1024）=441．      …（9分）

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了均值与方差的计算问题，是难题．