Question

3．已知函数$f（x）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+1，x∈R$
（1）求f（x）的最小正周期和最值
（2）设α是第一象限角，且$f（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{21}{10}$，求$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{cos（2π+2α）}$的值．

Answer 1

分析 （1）推导出$f（x）=\frac{cos2x+1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+1$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$，由此能求出函数f（x）的最小正周期是π，最大值和最小值．
（2）由$f（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{21}{10}$，求出$cosα=\frac{3}{5}$，$sinα=\frac{4}{5}$，由此能求出$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{cos（2π+2α）}$的值．

解答 解：（1）∵$f（x）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+1，x∈R$，
∴$f（x）=\frac{cos2x+1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+1$…..（2分）
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{3}{2}$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$…..（4分）
∴函数f（x）的最小正周期是π，最大值为$\frac{5}{2}$，最小值为$\frac{1}{2}$…..（6分）
（2）∵$f（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）=\frac{21}{10}$，
则$sin[{2（\frac{α}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}}]+\frac{3}{2}=\frac{21}{10}$
则$sin（α+\frac{π}{2}）=\frac{3}{5}$
即$cosα=\frac{3}{5}$…．（8分）
又α为第一象限的角，则$sinα=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{cos（2π+2α）}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（sinα+cosα）}}{cos2α}$…..（10分）
=$\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（sinα+cosα）}}{{{{cos}^2}α-{{sin}^2}a}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{cosα-sinα}$=$-\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$…..（12分）

点评 本题考查三角函数周期和最值的求法，考查三角函数化简求值，考查二倍角公式、降幂公式、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．