题目内容
8．已知数列{an}的首项为6，且满足an=3an-1-6（n＞2）．（1）求证数列{an-3}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式．
（2）设bn=an+2n-3，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn．
分析 （1）由题知a1-3=3，$\frac{{a}_{n}-3}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{3{a}_{n-1}-6-3}{{a}_{n-1}-3}$=3，从而证明数列{an-3} 是以3为首项，以3为公比的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由${b_n}={3^n}+2n$，利用分组求和法能求出数列{bn}的通项公式及前n项和Tn．
解答 解：（1）∵数列{an}的首项为6，
∴由题知a1-3=3．…1分
∵an=3an-1-6（n＞2），
∴$\frac{{a}_{n}-3}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{3{a}_{n-1}-6-3}{{a}_{n-1}-3}$=$\frac{3（{a}_{n-1}-3）}{{a}_{n-1}-3}$=3，…3分
$\therefore$数列{an-3} 是以3为首项，以3为公比的等比数列．…4分
∴${a_n}-3=3×{3^{n-1}}={3^n}$ …5分
∴${a_n}={3^n}+3$．…6分
（2）∵bn=an+2n-3，
∴${b_n}={3^n}+2n$ …7分
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=（31+2×1）+（32+2×2）+（33+2×3）+…+（3n+2×n） …8分
=（31+32+33+…+3n）+2（1+2+3+…+n） …9分
=$\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}+2×\frac{n（1+n）}{2}$ …10分
=$\frac{{{3^{n+1}}-3}}{2}+{n^2}+n$．…12分
点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．
练习册系列答案
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16．下列各式中不等于n！的是（ ）
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（1）根据表格提供的数据求函数y=f（x）的解析式；
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（3）若对任意的实数a，函数y=f（kx）（k＞0），x∈（a，a+$\frac{2π}{3}$]的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，又当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
| x | -$\frac{π}{6}$ | $\frac{π}{3}$ | $\frac{5π}{6}$ | $\frac{4π}{3}$ | $\frac{11π}{6}$ | $\frac{7π}{3}$ | $\frac{17π}{6}$ |
| y | -1 | 1 | 3 | 1 | -1 | 1 | 3 |
（2）求函数f（x） 的单调递增区间；
（3）若对任意的实数a，函数y=f（kx）（k＞0），x∈（a，a+$\frac{2π}{3}$]的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，又当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
17．函数y=cosx在其定义域上的奇偶性是（ ）
| A． | 奇函数 | B． | 偶函数 | C． | 既奇且偶的函数 | D． | 非奇非偶的函数 |