已知函数f+B(A＞0.0＜ω＜2.|φ|＜$\frac{π}{2}$)的一系列对应值如下表:x-$\frac{π}{6}$$\frac{π}{3}$$\frac{5π}{6}$$\frac{4π}{3}$$\frac{11π}{6}$$\frac{7π}{3}$$\frac{17π}{6}$y-1131-113(1)根据表格提供的数据求函数y=f(x)的解析式, 的单调递� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一系列对应值如下表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{17π}{6}$
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根据表格提供的数据求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若对任意的实数a，函数y=f（kx）（k＞0），x∈（a，a+$\frac{2π}{3}$]的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，又当x∈[0，$\frac{π}{3}$]时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

分析（1）根据表格提供的数据，求出T、ω和A、B的值，写出f（x）的解析式即可；
（2）根据正弦函数的图象与性质，求出函数f（x）的单调递增区间；
（3）由函数y=f（kx）的最小正周期求出k的值，再利用换元法，令t=3x-$\frac{π}{3}$，结合函数的图象求出方程f（kx）=m恰有两个不同的解时m的取值范围．

解答解：（1）根据表格提供的数据，得T=2×[$\frac{5π}{6}$-（-$\frac{π}{6}$）]=2π，
又ω＞0，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=1，
且A=2，B=1，
∴f（x）=2sin（x+φ）+1，
∴f（$\frac{5π}{6}$）=2sin（$\frac{5π}{6}$+φ）+1=3，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$；
函数y=f（x）的解析式为f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+2kπ≤x＜$\frac{5π}{6}$+2kπ，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[-$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{5π}{6}$+2kπ]，（k∈Z）；
（3）由已知得函数y=f（kx）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1的最小正周期为$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{2π}{|k|}$=$\frac{2π}{3}$，
又k＞0，∴k=3；
令t=3x-$\frac{π}{3}$，x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
又函数y=sint在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上单调递减，
且sin$\frac{π}{3}$=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，如图所示；
∴sint=s在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上有两个不同的解，等价于函数y=sint与y=s的图象有两个不同的交点，
∴s∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴方程f（kx）=m恰有两个不同的解，实数m的取值范围是[$\sqrt{3}$+1，3）．