Question

13．若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=a，n≥2时S_n²=3n²a_n+S²_n-1，a_n≠0，n∈N^*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=$\frac{1}{{（{{a_n}-1}）（{{a_n}+2}）}}$，求证：T_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、平方差公式可得：S_n+S_n-1=3n²．令n=2，3，可得方程组，解出即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=3n．由b_n=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由n≥2时，S_n²=3n²a_n+S²_n-1，a_n≠0，n∈N^*．
可得S_n²-S²_n-1=3n²a_n，
∴（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=3n²a_n，∴S_n+S_n-1=3n²．
令n=2，3，可得$\left\{\begin{array}{l}{3a+d=12}\\{5a+4d=27}\end{array}\right.$，
解得a=3，d=3．
（2）证明：由（1）可得：a_n=3+3（n-1）=3n．
∴b_n=$\frac{1}{{（{{a_n}-1}）（{{a_n}+2}）}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．
∴T_n=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}-\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+1}）$＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了数列递推关系、平方差公式、等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．