Question

18．已知函数f（x）=sin2xcos2x+sin²2x-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；
（2）在△ABC中，角B为钝角，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（$\frac{B}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且sinC=$\sqrt{2}$sinA，S_△ABC=4，求c的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，得出结论．
（2）由题意求得$sin（B-\frac{π}{4}）=1$，结合$\frac{π}{2}$＜B＜π，∴求得$B=\frac{3π}{4}$．利用正弦定理求得c=2a，再利用S_△ABC=4，求得c的值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2xcos2x+sin²2x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}sin4x-\frac{1}{2}cos4x$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（4x-\frac{π}{4}）$，
所以函数f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{4}=\frac{π}{2}$．
由$4x-\frac{π}{4}=kπ（k∈{Z}）$，解得$x=\frac{kπ}{4}+\frac{π}{16}（k∈{Z}）$，
所以函数f（x）的图象的对称中心为$（\frac{kπ}{4}+\frac{π}{16}，0）（k∈Z）$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（4x-\frac{π}{4}）$，
∵$f（\frac{B}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$f（\frac{B}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（B-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$sin（B-\frac{π}{4}）=1$．
∵$\frac{π}{2}$＜B＜π，∴$B=\frac{3π}{4}$．
∵sinC=$\sqrt{2}$sinA，∴c=2a．
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•a•\sqrt{2}a•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=4$，$a=2\sqrt{2}$，∴c=4．

点评 本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦定理，属于中档题．