Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx（x∈R）
（1）求f（

3π

8

）的值；
（2）若f（

x0

2

）=

3

4

，x₀∈（

π

4

，

π

2

），求sinx₀的值．

Answer 1

考点：二倍角的正弦

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由二倍角公式化简解析式可得：f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，代入

3π

8

即可求值；
（2）先求得f（

x0

2

）的值，即可求sin（x₀+

π

4

），cos（x₀+

π

4

）的值，由sinx₀=sin[（x₀+

π

4

）-

π

4

]，用两角和的正弦公式展开即可求值．

解答： （14分）
解：（1）f（x）=cos²x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

                       …（4分）
f（

3π

8

）=

2

2

sinπ+

1

2

=

1

2

                  …（7分）
（2）由f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，得f（

x0

2

）=

2

2

sin（x₀+

π

4

）+

1

2

=

3

4

，
∴sin（x₀+

π

4

）=

2

4

，…（9分）
又x₀∈（

π

4

，

π

2

），
∴x₀+

π

4

∈（

π

2

，

3π

4

）
∴cos（x₀+

π

4

）=-

14

4

                         …（11分）
∴sinx₀=sin[（x₀+

π

4

）-

π

4

]=

2

2

[sin（x₀+

π

4

）-cos（x₀+

π

4

）]=

2

2

（

2

2

+

14

4

）=

1+ 7

4

．                …（14分）

点评：本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．