题目内容
已知函数f（x）=ax+
（其中a、b为常数）的图象经过（1，2）、(2，
)两点．
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
| b |
| x |
| 5 |
| 2 |
（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义证明即可．
（2）根据函数单调性的定义证明即可．
解答：
解：由已知有
，解得
，
∴f(x)=x+
． …（3分）
（1）f（x）是奇函数．…（4分）
证明：由题意f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，…（5分）
又f(-x)=-x-
=-(x+
)=-f(x)，…（6分）
∴f（x）是奇函数． …（7分）
（2）证明：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，…（8分），
f(x1)-f(x2)=(x1+
)-(x2+
)=(x1-x2)+(
-
)=(x1-x2)(
)，…（10分）
∵x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），…（11分）
故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（12分）
|
|
∴f(x)=x+
| 1 |
| x |
（1）f（x）是奇函数．…（4分）
证明：由题意f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，…（5分）
又f(-x)=-x-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
∴f（x）是奇函数． …（7分）
（2）证明：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，…（8分），
f(x1)-f(x2)=(x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∵x1-x2＜0，x1x2-1＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），…（11分）
故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．…（12分）
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用定义法是解决本题的关键．
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的图象大致是（ ）
| x2 |
| 2x-1 |
A、 |
B、 |
C、 |
D、 |
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| A、-1 | B、0 | C、2 | D、1 |
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a，则
=（ ）
| 2 |
| b |
| a |
A、2
| ||
B、2
| ||
C、
| ||
D、
|
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| π |
| 8 |
| A、0 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|