Question

给出下面四个命题：
①函数f（x）=x-sinx（x∈[0，π]）的最大值为π，最小值为0；
②函数y=x³-12x （-3＜x＜2）的最大值为16，最小值为-16；
③函数y=x³-12x （-2＜x＜2）无最大值，也无最小值；
④函数y=x³-12x在（a，10-a）上有最小值，则a的取值范围是（-∞，2）．  
其中正确的命题有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①函数f（x）=x-sinx（x∈[0，π]），f′（x）=1-cosx≥0，可得函数f（x）单调递增，即可得出最值；
②函数y=x³-12x （-3＜x＜2），y′=3x²-12=3（x+2）（x-2），列表利用导数研究函数的单调性极值与最值即可．
③由表格可知：函数y=x³-12x （-2＜x＜2）无最值；
④函数y=x³-12x在（a，10-a）上有最小值，由f（x）=x³-12x=f（2）=-16，解得x=2或-4．则必须-4≤a＜2＜10-a，解得即可判断出．

解答： 解：①函数f（x）=x-sinx（x∈[0，π]），f′（x）=1-cosx≥0，∴函数f（x）单调递增，∴函数f（x）的最大值为f（π）=π，最小值为f（0）=0，正确；
②函数y=x³-12x （-3＜x＜2），y′=3x²-12=3（x+2）（x-2），
列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：极大值即最大值为f（-2）=16，无最小值，因此不正确；
③由表格可知：函数y=x³-12x （-2＜x＜2）无最大值，也无最小值，正确；
④函数y=x³-12x在（a，10-a）上有最小值，由f（x）=x³-12x=f（2）=-16，解得x=2或-4．
则必须-4≤a＜2＜10-a，解得-4≤a＜2，因此a的取值范围是[-4，2），不正确．
其中正确的命题有：①③．
故选：B．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．