Question

已知函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），对定义域内的任意x，满足f（x）+f（-x）=0，当x＜-1时，f(x)=

1+ln(-x-1)

x+a

（a为常），且x=2是函数f（x）的一个极值点，
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f(x)≥

m

x

恒成立，求实数m的最大值；
（Ⅲ）求证：n-2(

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

)＜ln(n+1)．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出当x＞1时，f（x）=-f（-x）=

1+ln(x-1)

x-a

，可得当x＞1时，f′（x）=

x-a x-1 -1-ln(x-1)

(x-a)2

，利用x=2是函数f（x）的一个极值点，即可求实数a的值；
（Ⅱ）当x≥2时，不等式f(x)≥

m

x

恒成立，等价于m≤x•

1+ln(x-1)

x-1

，令g（x）=x•

1+ln(x-1)

x-1

=1+

1+xln(x-1)

x-1

，求出最小值，即可求实数m的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当x≥2时，f（x）≥

2

x

，即

1+ln(x-1)

x-1

≥

2

x

，可得ln（x-1）≥1-

2

x

＞1-

2

x-1

，令x-1=

k+1

k

，则1-

2

x-1

=1-

2k

k+1

，进而取值累加，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：∵函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），对定义域内的任意x，满足f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）为奇函数，
当x＞1时，-x＜-1，∴f（x）=-f（-x）=

1+ln(x-1)

x-a

，
∴当x＞1时，f′（x）=

x-a x-1 -1-ln(x-1)

(x-a)2

∵x=2是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=

1-a

(2-a)2

=0，
∴a=1；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x＞1时，f（x）=

1+ln(x-1)

x-1

当x≥2时，不等式f(x)≥

m

x

恒成立，等价于m≤x•

1+ln(x-1)

x-1

，
令g（x）=x•

1+ln(x-1)

x-1

=1+

1+xln(x-1)

x-1

，
则g′（x）=

(x-1)-ln(x-1)

(x-1)2

，
令h（x）=（x-1）-ln（x-1）（x≥2），则h′（x）=

x-2

x-1

，
当x＞2时，h′（x）=

x-2

x-1

＞0，函数h（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴h（x）≥h（2）=1＞0，
∴当x≥2时，g′（x）=

(x-1)-ln(x-1)

(x-1)2

＞0，
∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（2）=2，
∴m≤2，
∴实数m的最大值为2；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x≥2时，f（x）≥

2

x

，即

1+ln(x-1)

x-1

≥

2

x

，
则ln（x-1）≥1-

2

x

＞1-

2

x-1

，
令x-1=

k+1

k

，则1-

2

x-1

=1-

2k

k+1

，
∴1-

2×1

1+1

＜ln

2

1

；1-

2×2

2+1

＜ln

3

2

，…，1-

2n

n+1

＜ln

n+1

n

，
累加可得n-2(

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

)＜ln(n+1)．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查不等式的证明，正确分离参数求最值是关键．