Question

已知向量

a

=（m，n），

b

=（cosx，sinx），函数f（x）=

a

•

b

-2．
（1）设m=n=1，x为某三角形的内角，求f（x）=-1时x的值；
（2）设m=4，n=3，当函数f（x）取最大值时，求cos2x的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题可知，当m=n=1时，f（x）=

a

•

b

-2=sinx+cosx-2，由f（x）=-1，求得sin(x+

π

4

)=

2

2

．结合x为三角形的内角，求得x的值；
（2）当m=4，n=3时，f（x）=5sin（x+φ）-2，当且仅当sin（x+φ）=1时，函数f（x）_max=3．由此求得x的值，从而求得cos2x的值．

解答： 解：（1）由题可知，f（x）=nsinx+mcosx-2，当m=n=1时，f（x）=

a

•

b

-2=sinx+cosx-2，
∵f(x)=-1⇒sinx+cosx=1⇒

2

sin(x+

π

4

)=1，
∴sin(x+

π

4

)=

2

2

．
∵x为三角形的内角，
∴x+

π

4

=

3π

4

⇒x=

π

2

．
（2）当m=4，n=3时，f（x）=3sinx+4cosx-2=5sin（x+φ）-2，其中φ为锐角，且cosφ=

3

5

，sinφ=

4

5

，
当且仅当sin（x+φ）=1时，函数f（x）_max=3．此时x+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)⇒x=2kπ+

π

2

-φ(k∈Z)，
∴cosx=cos(2kπ+

π

2

-φ)=sinφ=

4

5

，
∴cos2x=2cos2x-1=2sin2φ-1=

7

25

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，属于中档题．