Question

10．已知函数f（x）=cos²（x-$\frac{π}{6}$）-sin²x
（1）求f（$\frac{π}{12}$）的值
（2）求f（x）的单调增区间
（3）若对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有f（x）≤c，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换，化简f（x）的解析式，从而求得f（$\frac{π}{12}$）的值．
（2）利用余弦函数的单调性，求得f（x）的单调增区间．
（3）利用余弦函数的定义域和值域，求得余弦函数的最大值，可得实数c的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=cos²（x-$\frac{π}{6}$）-sin²x=$\frac{1+cos（2x-\frac{π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$（cos2x•$\frac{1}{2}$+sin2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cos2x）
=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）=$\sqrt{3}$cos（2x-$\frac{π}{6}$ ），
∴f（$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$cos0=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）令 2kπ-π≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，故函数的增区间为 $[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]（k∈z）$．
（3）对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，cos（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，故f（x）的最大值为$\sqrt{3}$，
∴c≥$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的单调性，函数的恒成立问题，求余弦函数的最值，属于中档题．