Question

18．已知点P（2，-1）．
（1）若一条直线经过点P，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；
（2）求过点P且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？

Answer 1

分析 （1）当l的斜率k不存在时，直接写出直线方程；当l的斜率k存在时，设l：y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．由点到直线的距离公式求得k值，则直线方程可求；
（2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出OP所在直线的斜率，进一步得到直线l的斜率，得到直线l的方程，再由点到直线的距离公式得最大距离．

解答 解：（1）①当l的斜率k不存在时，l的方程为x=2； 
②当l的斜率k存在时，设l：y+1=k（x-2），即kx-y-2k-1=0．
由点到直线距离公式得$\frac{{|{-2k-1}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2$，得l：3x-4y-10=0．
故所求l的方程为：x=2  或  3x-4y-10=0；
（2）由题意可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，
由l⊥OP，得k_lk_OP=-1，k_l=$-\frac{1}{{{k_{op}}}}=2$，
由直线方程的点斜式得y+1=2（x-2），即2x-y-5=0．
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为 $\frac{{|{-5}|}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线的点斜式方程，考查点到直线的距离公式的应用，属中档题．