Question

6．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$ 的左右焦点分别为F₁，F₂，点P 在椭圆上运动，$|{{{\overrightarrow{PF}}_1}}|×|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$ 的最大值为m，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值为n，且m≥2n，则该椭圆的离心率的取值范围为[$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由题椭圆定义利用配方法求得$|{{{\overrightarrow{PF}}_1}}|×|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$ 的最大值m，再由平面向量的坐标运算求得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值n，由m≥2n，结合隐含条件求得椭圆的离心率的取值范围．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=2a-|PF₁|（a-c≤|PF₁|≤a+c），
∴|PF₁|•|PF₂|=|PF₁|（2a-|PF₁|）=-|PF₁|²+2a|PF₁|=-（|PF₁|-a）²+a²
∵a-c≤|PF₁|≤a+c
∴|PF₁|•|PF₂|=-（|PF₁|-a）²+a²∈[b²，a²]，
∴$|\overrightarrow{P{F}_{1}}|×|\overrightarrow{P{F}_{2}}|$的最大值m=a²；
设P（x，y），
则$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x，-y）•（c-x，-y）
=x²+y²-c²=x²+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}^{2}）$-c²=$（1-\frac{1}{{a}^{2}}）{x}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}$，
∵x∈[-a，a]，∴x²∈[0，a²]，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的最小值为n=b²-c²，
由m≥2n，得a²≥2（b²-c²）=2（a²-2c²）=2a²-4c²，
∴a²≤4c²，解得$e=\frac{c}{a}∈$$[{\frac{1}{2}，1}）$．
故答案为：$[\frac{1}{2}，1）$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．