Question

10．已知以点C（t，$\frac{2}{t}$）（t∈R且t≠0）为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求证：△AOB的面积为定值．
（2）设直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．
（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：圆的方程为：$（x-t）^{2}+（y-\frac{2}{t}）^{2}$=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$，化为：x²-2tx+y²-$\frac{4}{t}y$=0．求出与坐标轴的交点，即可对称S_△OAB．
（2）由|OM|=|ON|，可得原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，
可得t，即可对称圆C的方程．
（3）由（2）可知：圆心C（2，1），半径r=$\sqrt{5}$，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=$\sqrt{（-6）^{2}+（-3）^{2}}$-$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，进而得出．

解答 （1）证明：由题意可得：圆的方程为：$（x-t）^{2}+（y-\frac{2}{t}）^{2}$=t²+$\frac{4}{{t}^{2}}$，化为：x²-2tx+y²-$\frac{4}{t}y$=0．
与坐标轴的交点分别为：A（2t，0），B$（0，\frac{4}{t}）$．∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|2t|•|\frac{4}{t}|$=4，为定值．
（2）解：∵|OM|=|ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，
OC的斜率k=$\frac{\frac{2}{t}}{t}$=$\frac{2}{{t}^{2}}$，∴$\frac{2}{{t}^{2}}$×（-2）=-1，解得t=±2，可得圆心C（2，1），或（-2，-1）．
∴圆C的方程为：（x-2）²+（y-1）²=5，或（x+2）²+（y+1）²=5．
（3）解：由（2）可知：圆心C（2，1），半径r=$\sqrt{5}$，点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（-4，-2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又点B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|-r=$\sqrt{（-6）^{2}+（-3）^{2}}$-$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
则|PB|+|PQ|的最小值为2$\sqrt{5}$．
直线B′C的方程为：y=$\frac{1}{2}$x，此时点P为直线B′C与直线l的交点，
故所求的点P$（-\frac{4}{3}，-\frac{2}{3}）$．

点评 本题考查了直线 与圆相交问题、圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、对称问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．