Question

3．已知等边三角形的边长为a，P是△ABC所在平面上的一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最小值．

Answer 1

分析 本题可以先建立坐标系，利用两点距离公式将PA²+PB²+PC²转化为两二次函数式的和，再分别求它们的最值，得到本题结论．

解答 解：建立平面直角坐标系，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），P（x，y），
则有：PA²+PB²+PC²=（x-x₁）²+（y-y₁）²+（x-x₂）²+（y-y₂）²+（x-x₃）²+（y-y₃）²
=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$+${{x}_{3}}^{2}$+3y²-2（y₁+y₂+y₃）y+${{y}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$+${{y}_{3}}^{2}$，
记f（x）=3x²-2（x₁+x₂+x₃）x+${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$+${{x}_{3}}^{2}$，
当且仅当x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}{+x}_{3}}{3}$时，f（x）取最小值；
记g（y）=3y²-2（y₁+y₂+y₃）y+${{y}_{1}}^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$+${{y}_{3}}^{2}$，
当且仅当y=$\frac{{y}_{1}+{{y}_{2}+y}_{3}}{3}$时，g（y）取最小值．
∴当且仅当x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}{+x}_{3}}{3}$，y=$\frac{{y}_{1}+{{y}_{2}+y}_{3}}{3}$时，PA²+PB²+PC²取最小值，
此时，P为正△ABC的重心．
∵正△ABC的边长为a，
∴PA²+PB²+PC²=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）²=a²，
∴PA²+PB²+PC²≥a²，此时，P为正△ABC的重心，
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²的最小值是a²．

点评 本题考查了两点间距离公式，还考查了解析法研究问题的思想和方法，有一定的思维难度，属于中档题．