Question

已知圆C：x²+（y-a）²=4，点A（1，0）．
（1）过A得圆C切线存在时，求a范围，并求a=2时的切线方程；
（2）设AM，AN为圆C切线，M，N为切点，|MN|=

4 5

5

时，求MN所在直线的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）由直线与圆的位置关系，得当点A在圆外或圆上过点A的圆C的切线存在．再由点与圆的位置关系，建立关于a的不等式，解之即得实数a的取值范围；
（2）根据圆的对称性得到|DM||MN|．利用垂径定理算出CD的长度，在Rt△MCD中，算出cos∠MCD的值，得cos∠MCA．然后在Rt△MCA中利用解三角形知识算出AC长，结合|OC|=2得出|AM|=1．由题意知MN是以A为圆心、半径为AM的圆与圆C的公共弦，由此列式即可求出MN所在直线的方程．

解答： 解：（1）已知圆C：x²+（y-a）²=4，点A（1，0）．
则：圆心C（0，a），半径R=2，过A得圆C切线存在时
|CA|≥2 即：

a2+1

≥2
解得：a≥

3

或a≤-

3

当a=2时，圆C：x²+（y-2）²=4，过A（1，0）的切线
设直线的斜率为k，则直线方程为：y=k（x-1）
即：kx-y-k=0

|-2-k|

1+k2

=2
解得：k=0或

4

3

求得直线方程为：x=0或4x-3y-1=0
（2）（2）如图，设MN与AC交于D点
|MN|=

4

5

5

则：|DM|=

2

5

5

∵|MC|=2 由垂径定理得：|CD|=

4

5

在Rt△MCD中，cos∠MCD=

4 5

2

=

2

5

在Rt△MAC中，|AC|=

5

∴|OC|=2，|AM|=1
MN是以A为圆心半径为AM的圆与圆C的公共弦．
⊙A的方程为：（x-1）²+y²=1
⊙C的方程为：x²+（y-2）²=4或x²+（y+2）²=4
所以MN所在的直线为⊙A的方程与⊙C的方程的差值
解得：x-2y=0或x+2y=0
故答案为：（1）a≥

3

或a≤-

3

  切线方程为：x=0或4x-3y-1=0
（2）x-2y=0或x+2y=0

点评：本题考查的知识点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程以及圆的几何性质．